Primeros frutos de la razón y el método a lo científico (I)

(Viene de Un buen inicio: El despertar griego (III))

Tal y como lo dije en el primer post sobre los griegos y comenzar a hacerlo costumbre, vamos a ver algunos datos para comprender como era la sociedad, el entorno o las condiciones de los personajes que vamos a tratar, para entender mejor las dificultades y la importancia de su obra.

Es por ello que haremos una mirada a vuelo de pájaro de la situación en Grecia, hablaremos del director de la Biblioteca de Alejandría y el primer gran éxito a nivel cósmico del saber griego, la primera medición de la circunferencia terrestre considerado como correcto (según las mediciones actuales). Este hombre fué Eratóstenes de Cirene (como se puede ver en Wikipedia¹).

Lugar y época	Grecia Clásica Siglo III A.C. (Antes de Cristo)
Creencias del momento	Igual que antes, pero ya con la aportación de los atomistas y el Liceo incorporada a la cultura.
Estado del Arte	Los babilonios dejaron un enorme legado en observaciones astronómicas. Entre sus logros destaca la conclusión que la Tierra es redonda. Los egipcios habían desarrollado técnicas de mediciones sobre el terreno muy avanzadas, que servían como base para su arquitectura. Desde el siglo VI A.C., los griegos compilaron el saber matemático de sus predecesores, desarrollándolo y ampliándolo enormemente.
Ramas influyentes - Sin desacreditar aún (en la actualidad)	Para el tema que nos ocupa: Astronomía, Matemáticas (Aritmética y Geometría), Agrimensura (medición de áreas, límites de tierras, muy desarrollada por los egipcios), Óptica geométrica.
Ramas influyentes - Desacreditadas (en la actualidad)	-
Algunos personajes relevantes	Arquímedes, contemporáneo de Eratóstenes y quien protagonizará el próximo post. Tales y su famoso teorema, ya con algunos siglos en la espalda, mencionado y cantado en Un buen inicio: El despertar griego (II)2.
Algunos hechos relevantes	La República Romana está llegando a su fin, pero en el camino ya había sometido a muchos pueblos en la península itálica y comenzaba los enfrentamientos con las Polis Griegas por el dominio del Mediterráneo. Fué el momento en que venció y se anexó los territorios de Cártago y Macedonia. Al caer la República Romana (27 A.C.) se inicia el Imperio Romano. Las Polis griegas no tendrán el poder militar o político anterior, pero mantendrán una buena parte de su actividad cultural.

Espera que voy a medir la Tierra

No, no era la típica excusa para escapar durante un tiempo. Hacia el año 240 A.C. el clima no debía ser muy diferente de como es ahora en Alejandría (Egipto) ni en sus alrededores, en la parte africana del mar Mediterráneo. Así que no sería de extrañar que los habitantes de aquellas tierras hubiesen observado el Sol y sus efectos a diversas horas del día. Entre esos habitantes estaba el director de la Biblioteca de Alejandría, el centro del saber científico más grande de aquella época. Eratóstenes, originario de la ciudad de Cirene era matemático, astrónomo, geógrafo, poeta y filósofo y llamado Beta por algunos de sus conocidos, porque decían que era el segundo en todas las ramas que cultivó; algunos de sus inventos han sido útiles durante muchos años como la Esfera armilar o astrolabio esférico que fué usada aún hasta el siglo XVII y que servía para mostrar el movimiento aparente de las estrellas alrededor de la Tierra o el Sol³:

Imagen 1. Esfera armilar o astrolabio esférico.
Está a la espera de un sabio renacentista que la sepa usar.
Fuente: Wikipedia.

 Por si fuera poco, otro trabajo suyo (conocido ahora como La Criba de Eratóstenes) se sigue usando actualmente para comprobar la eficacia de diferentes lenguajes de programación. Es un método rápido para obtener todos los números primos menores que algún número que propongamos (sencillo ¿verdad?. Más sobre números primos aquí⁴, hasta que tengan su propio post).

Pero vayamos al tema. Al ser geógrafo y haber viajado, pudo observar los rayos del sol en diferentes ciudades y a distintas horas, dándose cuenta que había diferencias en las sombras:

• En un mismo sitio, el tamaño de la sombra cambia según la hora (o posición del sol).
• En otro sitio (al norte o al sur), el tamaño de la sombra podía ser diferente aunque fuera la misma hora.

De estas observaciones y sabiendo que la Tierra es redonda (en ese tiempo se pensaba que era esférica), concluyó que el sol está más lejos en algunas partes la Tierra están más lejos del Sol que otras. ¿Cuanto más lejos podrían estar? quizás se preguntó; para poder responder algo así, Eratóstenes contaba con dos grandes herramientas: el conocimiento y su ingenio.


El hombre que sabía demasiado

¿Exageración? Quizás sí o quizás no. Pero lo interesante aquí es la relación que hay entre el conocimiento y el ingenio del hombre, ya que en cuanto a conocimiento, un estudiante de nivel secundaria actual que haya hecho sus deberes en matemáticas podría hacerlo todo sin despeinarse (o peinándose, que aquí no nos pondremos quisquillosos por esto).  Vamos a ver qué sabía:

- Sabía que la Tierra es esférica (ahora sabemos que no es perfectamente esférica, pero es una buena aproximación).
- Sabía calcular el arco de una circunferencia o de una parte de ella, a partir del ángulo (medido en radianes) y el radio o el diámetro de la circunferencia.

Imagen 2. Cuando medimos los ángulos en radianes, podemos hacer cálculos directos con ellos.
Uso magistral del Paint: el autor de este blog.

- Conocía de trigonometría, así que podía calcular ángulos y lados de los triángulos a partir de ciertos datos.
- Conocía el Teorema de Tales y resultados derivados de él², como la proposición 16 del V postulado de Euclides:

Imagen 3. Los ángulos ${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--greek\; small\; letter\; alpha-->}}$ y ${\displaystyle \mathrm{\beta <!--greek\; small\; letter\; beta-->}}$ son iguales 

(también conocidos y temidos como los alternos internos).

Fuente de la imagen: Wiki... adivinen.

- Al ser geógrafo, sabía la distancia (medida con las herramientas de la época) entre algunas ciudades de su entorno. Es sorprendente el nivel de exactitud que podían llegar a alcanzar con estas mediciones.
- Tenía su ingenio y una capacidad de razonamiento fuera de lo común.

La duda es: ¿Es suficiente con esto para calcular la circunferencia de la Tierra?. Veamos como lo hizo.


El concepto, lo importante es el concepto...

Como se puede ver de la imagen 3, conociendo dos datos podemos encontrar el tercero. En la época era conocida la distancia entre Alejandría (al norte) y Siena (la actual Asuán, al sur), como se puede ver en el mapa:

Imagen 4. Arriba Alejandría, abajo Siena. 
Mapa cortesía de la empresa donde está este blog, 
el e-mail, el buscador, el traductor, la NSA... Oh, wait!

Si nos paramos en un punto cualquiera de la superficie de una esfera y miramos hacia cualquier punto en su superficie, es posible que las vistas sean iguales en cualquier dirección. Si nos colocamos en el centro de la esfera y miramos hacia cualquier dirección, nos pasará lo mismo: es igual en todas las direcciones. Estos son claros ejemplos de un objeto con alta simetría.

Imagen 5. Sí, lo sabemos, no todo mundo coincide que la esfera tiene alta simetría...
Imagen tomada de aquí, con permiso CC.

Consideremos por un momento que sí lo es, por tanto, podemos simplificar el problema pensando en tomar sólo la circunferencia de la Tierra usando una aproximación plana. La siguiente imagen lo dejará más claro:

Imagen 6. En 2 está Alejandría, en 1 está Siena.

Imagen tomada de la Wik... Bueno, de donde siempre.

Veamos entonces qué tenía Eratóstenes:

Tal como se puede ver en la imagen 6, midió el ángulo que forma un rayo de luz solar cuando llega a Alejandría (7,2º o 0,1256 radianes) usando lo que vimos en la imagen 3, quedando de la siguiente forma:

Y si nos quedamos con una parte estratégicamente seleccionada:

Basta con compararla con la imagen 2 para ver que:

1. Disponemos de la medida del arco s (la distancia entre las dos ciudades),
2. Disponemos del valor del ángulo ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; x-small;">\theta </span>}}$,
3. Con un breve razonamiento y un poco de lógica podemos ver que tenemos lo suficiente para calcular la longitud del radio, a través de un simple despeje:

${\displaystyle S=r·<!--middle\; dot-->\theta }$

${\displaystyle \mathrm{<!--greek\; small\; letter\; theta-->}}$

${\displaystyle \frac{S}{\mathrm{\theta <!--greek\; small\; letter\; theta-->}}=r}$

  
donde S representa al arco de circunferencia, r al radio y ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; x-small;">\theta </span><!--greek\; small\; letter\; theta-->}}$ (se lee "theta", así como se ve) al ángulo en cuestión. Conociendo el radio, simplemente aplicó la fórmula para el cálculo del perímetro de la circunferencia:

${\displaystyle C=2\mathrm{\pi <!--greek\; small\; letter\; pi-->}r}$

Nótese que es la misma fórmula del arco, sólo que aquí el ángulo es 2 Pi y el arco S ahora es C (la circunferencia completa).

Algunos detalles y curiosidades más los dejaremos para el siguiente post, aunque existe una discusión bastante detallada aquí¹. Ahí veremos algo que es posible que aún no te hayas preguntado: ¿Y cómo midió el ángulo con el que caen los rayos de sol en Alejandría y en Siena?. La forma en que lo hizo me parece un canto a la inteligencia humana. El siguiente gran salto lo daría unos siglos después Nicolás Copérnico.



Resumiendo:

Ya teníamos	Y ahora añadimos
La Tierra es esférica; teoremas matemáticos y conocimientos geográficos.	Y a partir de ahora sabemos una forma de medir, y un primer cálculo a lo científico.
Conocimientos teóricos; conocimientos prácticos.	Trabajo conjunto de ambos conocimientos, de forma metódica bajo el razonamiento lógico.

Y así, la Ciencia moderna empezaba a dar sus primeros frutos en un camino que ahora seguimos cada día.



Siguientes: Los primeros frutos de la razón y el método a lo científico (II).
                   Los primeros frutos de la razón: Curiosidades.


Referencias:

1. Wikipedia: Eratóstenes de Cirene y una explicación mucho más detallada de su medición de la circunderencia terrestre.
2. Post anterior Un buen inicio: El despertar griego (II).
3. Wikipedia: Esfera armilar o astrolabio esférico.
3. Definición sencilla y tabla de números primos menores que mil en Disfruta las matemáticas.


Para ampliar lo expuesto en este post, imprescindible ver:

Asimov, Isaac. Introducción a la Ciencia, págs. 30-32. Plaza y Janes Editores, México, 1973.